复杂度分析

数据结构与算法本身解决的是两个问题：

• 如何让代码运行得更快；
• 如何让代码更省空间。

对于算法来说，执行效率是一个非常重要的考量指标。如何衡量编写的算法代码的执行效率？

这就牵扯到 2 个概念：时间复杂度分析、空间复杂度分析。

复杂度分析是算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本就掌握了一半。

为什么需要复杂度分析

你可能会问如果把代码跑一遍，通过统计、监控，就可以得到算法执行的时间和占用的内存大小。

那么为什么还需要做复杂度分析？

首先这种评估算法执行效率的方法是对的，它也有一个名字叫 事后统计法。

这种统计方法有非常大的局限性。

• 测试结果非常依赖测试环境；
• 测试结果收数据规模的影响很大；

我们需要一种不需要具体数据测试，就可以粗略估计算法的执行效率的方法。

这就是我们需要了解的时间、空间复杂度分析方法。

大 O 复杂度表示法

所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 f(n) 成正比。

我们可以把这个规律总结成一个公式：

T(n) = O(f(n));

T(n) 表示代码执行的时间，n 表示数据规模的大小。

f(n) 表示每行代码执行的次数总和。

O 表示代码执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

大 O 时间复杂度实并不具体表示代码的真正执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势。

所以也被叫做渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

时间复杂度分析

分析一段代码的时间复杂度有三个比较实用的方法：

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码

我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度时，只需要关注循环执行次数最多的那段代码即可。

function cal (n) {
  let sum = 0;
    
  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    sum = sum + i;
  }
    
  return sum;
}

比如上面这段代码，因为存在一个 for 循环，其中的代码被执行了 n 次，所以时间复杂度为 O(n)。

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

function cal (n) {
  let sum1 = 0;
  for (let p = 1; p < 100; p++) {
    sum1 = sum1 + p;
  }
  
  let sum2 = 0;
  for (let q = 1; q < n; q++) {
    sum2 = sum2 + q;
  }
  
  let sum3 = 0;
  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    for (let j = 1; j <= n; j++) {
      sum3 = sum3 + i * j;
    }
  }
  
  return sum1 + sum2 + sum3;
}

这段代码可以分为 3 部分，分别求 sum1、sum2、sum3。

我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一起，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。

第一段代码是一个常量的执行时间，跟 n 的规模无关。

尽管常量对代码的执行时间有很大影响，但是对于时间复杂度来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以我们可以忽略掉常量的执行时间。它本身对于增长趋势并没有影响。

第二段代码和第三段代码的时间复杂度分别是 O(n) 和 O(n²)。

综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级，所以，这段代码的时间复杂度为 O(n²)。

也就是说，总的时间复杂度等于量级最大的那段代码的时间复杂度。

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

我们可以把乘法法则看作嵌套循环。

function cal (n) {
  let ret = 0;
  
  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    ret = ret + f(i);
  }

  return ret;
}

function f (n) {
  let sum = 0;
  
  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    sum = sum + i;
  }
  
  return sum;
}

常见的时间复杂度实例分析

我们把时间复杂度为非多项式量级的算法问题较多 NP（Non-DeterministicPolynomial，非确定多项式）问题。

当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。

所以，非多项式时间复杂度的算法是一种非常低效的算法。

O(1)

O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不指只执行一行代码。

let i = 8;
let j = 6;
let sum = i + j;

只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。

一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万的代码，时间复杂度也为 O(1)。

O(logn)、O(nlogn)

对数时间复杂度非常常见。

let i = 1;

while (i <= n) {
  i = i * 2;
}

对于上面这个例子，只要我们能计算出这行代码被执行了多少次，就可以知道整段代码的时间复杂度。

变量 i 从 1 开始，每次循环都会乘以 2。当 i 大于 n 时，循环结束。

$2^0$ $2^1$ $2^2$ … $2^k$ … $2^x$ = n

我们可以通过 $2^x = n$ 求解 x，即 $x = log2^n$。所以时间复杂度为 $O(log2^n)$;

现在再看这段代码：

let i = 1;

while (i <= n) {
  i = i * 3;
}

根据刚才的思路，很简单就可以看出，这段代码的时间复杂度为 $O(log3^n)$。

实际上，不管是以 2 为底，以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶时间复杂度都记为 $O(logn)$。

采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。

我们介绍过计算时间复杂度的乘法法则，如果一段代码的时间复杂度是 $O(logn)$，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 $O(nlogn)$。

O(m + n)、O(m * n)

代码的复杂度由两个数据的规模决定。

function cal (m, n) {
  let sum1 = 0;
  for (let i = 1; i < m; i++) {
    sum1 = sum1 + i;
  }
  
  let sum2 = 0;
  for (let j = 1; j < n; j++) {
    sum2 = sum2 + j;
  }
  
  return sum1 + sum2;
}

由代码可以看出， m 和 n 是表示两个数据规模。

我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。

所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m + n)。

针对上述情况，原来的加法法则就不正确了。

可以将加法法则改为 T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。

乘法法则继续有效：T1(m) * T2(n) = O(f(m) * f(n))。

空间复杂度分析

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。

类比一下，空间复杂度全程就是渐进空间复杂度（asymptoic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

还是看下面例子（这段代码有点 low，主要是方便解释）。

function print (n) {
  let i = 0;
  let a = [];
  
  for (i; i < n; i++) {
    a[i] = i * i;
  }
  
  for (i = n - 1; i >= 0; --i) {
    console.log(a[i]);
  }
}

跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的数组，除此之外，剩下的代码没有占用更多空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 $O(1)、O(n)、O(n^2)$，像 $O(logn)、O(nlogn)$ 这样的对数阶复杂度平时都用不到。

而且，空间复杂度比时间复杂度分析要简单很多。

项目性能测试和代码的复杂度分析是否冲突？

渐进式时间、空间复杂度分析和性能基准测试并不冲突，而是相辅相成的。一个低阶的时间复杂度程序极大的可能性会优于一个高阶的时间复杂度程序。所以在实际编程中，时刻关系理论时间，空间度模型是有助于产出效率高的程序的。

同时，因为渐进式时间，空间复杂度分析只是提供一个粗略的分析模型，因此也不会浪费太多时间。重点在于编程时，要具有这种复杂度分析的思维。

时间复杂度

今天主要分析4个复杂度分析方面的知识点，最好情况时间复杂度（best case time complexity）、最坏情况时间复杂度（worst case time complexity）、平均情况时间复杂度（average case time complexity）、均摊时间复杂度（amortized time complexity）。

最好、最坏情况时间复杂度

先看下面的例子。

function find (arr, n, x) {
	let pos = -1;
  
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    if (arr[i] == x) pos = i;
  }
  
  return pos;
}

这段代码要实现的功能是，在一个无序数组中，查找变量 x 出现的位置，如果没有找到，就返回 -1。

按照之前讲的分析方法，这段代码的复杂度是 O(n)，其中，n 代表数组长度。

但其实我们在数组中查找一个数据，并不需要每次把整个数组都遍历一遍，如果找到元素就可以结束循环。

我们可以优化一下这段代码。

function find (arr, n, x) {
	let pos = -1;
  
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    if (arr[i] == x) {
      pos = i;
      break;
    };
  }
  
  return pos;
}

这时，就出现一个问题。在我们优化完之后，这段代码的时间复杂度还是 O(n) 吗？

案例中要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。

如果数组第一个元素正好是要查找的变量 x，那就不需要继续遍历剩下的 n - 1 个数据，这时时间复杂度是 O(1)。

如果数据中不存在变量 x，那就需要把数组遍历一遍，时间复杂度就成了 O(n)。

所以，不同情况下，这段代码的时间复杂度是不同的。

为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度，我们需要引入三个概念：

• 最好情况时间复杂度
• 最坏情况时间复杂度
• 平均情况时间复杂度

顾名思义，最好情况时间复杂度就是，在理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

同理，最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

平均情况时间复杂度

最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度，发生的概率其实并不大。

我们需要引入另一个概念，平均情况时间复杂度。后面简称为平均时间复杂度。

我们继续以刚才的例子进行分析。

function find (arr, n, x) {
	let pos = -1;
  
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    if (arr[i] == x) {
      pos = i;
      break;
    };
  }
  
  return pos;
}

要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n + 1 种情况（在数组中的情况和不在数组中的情况）。

我们需要把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n + 1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值。

我们知道，时间复杂度的大 O 标记法中，可以省略掉系数、低阶、常量，所以，咱们把刚刚这个公式简化之后，得到的平均时间复杂度就是 O(n)。不过这个结论虽然是正确的，但是计算过程稍微有点儿问题。上面所说的 n + 1种情况，出现的概率并不是一样的。

我们知道，要查找的变量 x，要么在数组中，要么不在数组中。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦。为了方便理解，我们假设在数组中和不在数组中的概念都为 1/2。另外，要查找的数据出现在 0 ～ n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0 ～ n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。

因此，前面的推导过程中存在的最大问题就是，没有将各种情况发生的概率考虑进去。如果把每种情况考虑进去，那平均时间复杂度的计算过程就变成了这样：

这个值就是概率论中的加权平均值，也叫期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。

引入概率之后，前面那段代码的加权平均值为 (3n+1)/4。用大 O 表示法来表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n)。

你可能会说，平均时间复杂度分析也太复杂了，还要涉及概率论的知识。实际上，在大多数情况下，我们并不需要区分最好、最坏、平均情况时间复杂度三种情况。很多时候，我们使用一个复杂度就可以满足需求了。只有同一块代码在不同的情况下，时间复杂度有量级的差距，我们才会使用这三种复杂度表示法来区分。

均摊时间复杂度

现在，你应该已经掌握算法复杂度分析的大部分内容。下面来讲一个更加高级的概念，均摊时间复杂度以及它对应的分析方法，摊还分析（平摊分析）。

均摊时间复杂度，听起来和平均时间复杂度有点类似。初学者经常把这两个概念弄混。大部分情况下，我们并不需要区分最好、最坏、平均三种复杂度。平均复杂度只在某种特殊情况下才会用到，而均摊时间复杂度应用的场景比它更加特殊、更加有限。

还是借助一个例子来理解。

const arr = new Array(10);
let count = 0;

function insert (val) {
  if (count == arr.length) {
    let sum = 0;
    for (let i = 0; i < arr.length; i++) {
      sum = sum + arr[i];
    }
    arr[0] = sum;
    count = 1;
  }
  
  arr[count] = val;
  count++;
}

这段代码实现了一个向数组中插入数据的功能。当数组满了之后，我们用 for 循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置，然后将将新的数据插入。如果数组存在空闲空间，则直接将数据插入数组。

那这段代码的时间复杂度是多少？我们可以用之前讲过的三种时间复杂度的分析方法来分析。

最理想的情况下，数组中有空闲空间，只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置，所以最好情况时间复杂度为 O(1)。

最坏的情况下，数组中没有空闲空间，需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。

平均复杂度为 O(1)。我们可以通过之前讲的概率论来分析。

假设数组的长度为 n，根据数据插入的位置不同，我们可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度都为 O(1)。

除此之外，还有一种 ”额外“ 情况，就是在数组没有空闲空空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度为 O(n)。

而且，这 n + 1 中情况发生的概率一样，都是 1/(n + 1)。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是：

至此为止，前面说的时间复杂度的计算，理解起来应该都没有问题。但是这个例子中的平均复杂度的计算其实并不需要这么复杂，不需要引入概率论的知识。我们先来对比一下这个 insert() 例子和之前的 find() 例子，你就会发现两者有很大差别。

首先，find() 函数在极端情况下，复杂度才为 O(1)。但 insert() 在大部分情况下，时间复杂度都为 O(1)。只有个别情况下，复杂度才比较高，为 O(n)。这是 insert()第一个区别于 find() 的地方。

我们再来看第二个不同的地方。对于 insert() 函数来说，O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入，出现的频率是非常有规律的，而且有一定的前后时序关系，一般都是一个 O(n) 插入之后，紧跟着 n-1 个 O(1) 的插入操作，循环往复。

所以，针对这样一种特殊场景的复杂度分析，我们并不需要像之前讲平均复杂度分析方法那样，找出所有的输入情况及相应的发生概率，然后再计算加权平均值。针对这种特殊的场景，我们引入了一种更加简单的分析方法：摊还分析法，通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字，叫均摊时间复杂度。

我们还是继续看在数组中插入数据的这个例子。每一次 O(n) 的插入操作，都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊分析的大致思路。你都理解了吗？

均摊时间复杂度和摊还分析应用场景比较特殊，所以我们并不会经常用到。为了方便你理解、记忆，我这里简单总结一下它们的应用场景。如果你遇到了，知道是怎么回事儿就行了。

对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。

尽管很多数据结构和算法书籍都花了很大力气来区分平均时间复杂度和均摊时间复杂度，但其实我个人认为，均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度，我们没必要花太多精力去区分它们。你最应该掌握的是它的分析方法，摊还分析。至于分析出来的结果是叫平均还是叫均摊，这只是个说法，并不重要。

总结

今天我们学习了几个复杂度分析相关的概念，分别有：最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度、平均情况时间复杂度、均摊时间复杂度。之所以引入这几个复杂度概念，是因为，同一段代码，在不同输入的情况下，复杂度量级有可能是不一样的。

在引入这几个概念之后，我们可以更加全面地表示一段代码的执行效率。而且，这几个概念理解起来都不难。最好、最坏情况下的时间复杂度分析起来比较简单，但平均、均摊两个复杂度分析相对比较复杂。